Etant scolarisé , ayant de bonnes et notes en mathématiques, notamment au Baccalauréat c'est peut être sur cette voie qui inspire la patience à ce propos.

Généralement, expérimenté aux exercices avec corrigés : lycéens et même au classes préparatoires assurément de stratégie en:
I Partie A 9
1 Calculs algébriques 11
1.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Égalités et inégalités dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Bases de logique 45
2.1 Origines de la logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Assertions et prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Quantificateurs mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Différents modes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Nombres complexes 63
3.1 Origines de sa découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Nombres complexes : forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Nombres complexes : forme géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Arithmétique 83
4.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 PGCD-PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

iii

TABLE DES MATIÈRES

4.5 Identité et théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 Théorème de Gauss et décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . 91
4.7 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.9 Petit théorème de Fermat et Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . 94
5 Polynômes sur R ou C 97
5.1 Définition de polynômes à coefficients réels ou complexes . . . . . . . . . . 98
5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Pgcd, ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6 Racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Formule de Taylor pour les polynômes de C[X] . . . . . . . . . . . . . . . 108

II Partie B 111
1 Applications 113
1.1 Différence entre fonctions et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.2 Injectivité, subjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.3 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2 Pratiques sur les fonctions (applications) usuelles 129
2.1 Quelques propriétés des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3 Fonction homographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.4 Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.5 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.6 Fonctions circulaires (ou trigonométriques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.7 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.8 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3 Suites réelles 165
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2 Deux suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3 Récurrence d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4 Limite de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5 Suites réelles et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.8 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.9 Fonctions et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
iv

TABLE DES MATIÈRES

4 Limites et continuité de fonctions 181
4.1 Limites d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5 Dérivabilité 203
5.1 Définition de la dérivabilité de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4 Dérivée et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.5 Dérivées et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.7 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.8 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.9 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

v

TABLE DES MATIÈRES

vi

Liste des figures

1 Les maths vues par... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Recette du fondant au chocolat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Alphabet grec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Mathématiciens et nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Hugues Méray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Capitaine François de Hadoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Johann Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 François Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Classification des intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1 Mathématiciens et logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Table de vérité pour non (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Table de vérité pour la conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Table de vérité pour la disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Table de vérité pour l’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Table de vérité pour l’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7 Table de vérité pour une tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Table de vérité pour une incompatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Table de vérité pour la tautologie (P et (P ⇒ Q)) ⇒ Q . . . . . . . . . . . . 56
2.10 Table de vérité pour la tautologie ( non(P) ⇒ Q) et (non(P) ⇒ non(Q)) . . . 57
3.1 Mathématiciens et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Cosinus et sinus des angles les plus connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Mathématiciens et arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Crible d’Eratosthène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Diophante d’Alexandrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 Mathématiciens et arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Brook Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.1 Mathématiciens et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.2 Exemple de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.3 Fonction-Pas fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.4 Fonction vs Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.5 Deux fonctions classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

vii

LISTE DES FIGURES

1.6 Injective vs Non injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7 Surjective vs Non surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.8 Concept de bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.9 Métaphore : surbooking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.10 Construction de la réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.11 Composition et poupées russes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.1 Mathématiciens et fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.2 Fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.3 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.4 Fonction paire et impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.5 Exemple d’asymptote oblique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.6 Représentation de la fonction constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.7 Représentation de la fonction identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.8 Représentation de la fonction valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.9 Représentation de la fonction partie entière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.10 Représentation de la fonction puissance entière. . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.11 Représentation de la fonction racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.12 Représentation de la fonction racine cubique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.13 Représentation de la fonction homographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.14 Représentation de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . 154
2.15 Représentation de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.16 Représentation de la fonction sinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.17 Représentation de la fonction cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.18 Représentation de la fonction tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.19 Représentation de la fonction cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.20 Représentation de la fonction cosinus hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . 160
2.21 Représentation de la fonction sinus hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.22 Représentation de la fonction tangente hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . 161
2.23 Représentation de la fonction cotangente hyperbolique. . . . . . . . . . . . . 162
3.1 Mathématiciens et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1 Mathématiciens et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3 Mathématiciens et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.1 Mathématiciens et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.2 Michel Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

viii

Chapitre 0

Conseils pour bien commencer

Les méthodes sont les habitudes de l’esprit
et les économies de la mémoire.

Sommaire
0.1 Conseils élémentaires sur les méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Conseils fondamentaux pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Conseils fondamentaux pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3.1 Comment présenter tous nos éléments proprement . . . . . . . . . 4
0.3.2 Comment introduire une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3.3 Comment introduire une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4 Conseils pour bien raisonner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.5 Tableau des lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7